Filtr średnio pasmowo przepustowy

Średnia ruchoma jako filtr Średnia ruchomość jest często wykorzystywana do wygładzania danych w obecności hałasu. Zwykła średnia ruchoma nie zawsze jest rozpoznawana jako filtr Finite Impulse Response (FIR), chociaż jest to jeden z najpopularniejszych filtrów w przetwarzaniu sygnału. Traktowanie go jako filtra pozwala na porównanie go z, na przykład, filtrami windowed-sinc (zob. Artykuły dotyczące filtrów górnoprzepustowych i filtrów pasmowo-odbijających pasek na przykład). Główną różnicą tych filtrów jest to, że średnia ruchoma jest odpowiednia dla sygnałów, dla których przydatne informacje są zawarte w domenie czasowej. z których pomiary wygładzania są uśrednione. Z drugiej strony filtry Windowed-sinc są silnymi wykonawcami w dziedzinie częstotliwości. z wyrównaniem w przetwarzaniu dźwięku jako typowy przykład. Dokładniejsze porównanie obu typów filtrów w domenach czasowych a skuteczność filtrów w domenie częstotliwości. Jeśli masz dane, dla których ważne jest zarówno czas, jak i częstotliwość, możesz zajrzeć do Wariacje na temat Ruchowej Średniej. który przedstawia kilka ważonych wersji ruchomych średnich, które są lepsze w tym. Ruchome średnie długości (N) można zdefiniować tak, jak zazwyczaj jest to możliwe, przy czym aktualna próbka wyjściowa jest średnią z poprzednich (N) próbek. Widoczne jako filtr, średnia ruchoma powoduje splot sekwencji wejściowej (xn) z prostokątnym impulsem o długości (N) i wysokości (1N) (w celu uzyskania obszaru impulsu, a tym samym wzmocnienia filtra , jeden). W praktyce najlepiej jest podjąć (N) nieparzyste. Mimo, że średnia ruchoma może być obliczona przy użyciu parzystej liczby próbek, przy nieparzystej wartości dla (N) ma tę zaletę, że opóźnienie filtru będzie liczbą całkowitą próbek, ponieważ opóźnienie filtru (N) próbki są dokładnie ((N-1) 2). Średnia ruchoma może być wyrównana dokładnie do oryginalnych danych, przesuwając ją przez liczbę całkowitą próbek. Domena czasu Ponieważ średnia ruchoma jest splotem z prostokątnym impulsem, jej odpowiedź częstotliwościowa jest funkcją sinc. To sprawia, że ​​coś takiego jak podwójny filtr windowed-sinc, ponieważ jest to splot z impemem sinc, który powoduje prostokątną odpowiedź częstotliwościową. To pasuje do odpowiedzi częstotliwościowej, która powoduje, że średnia ruchoma jest słabą wartością w dziedzinie częstotliwości. Jednak w dziedzinie czasu działa bardzo dobrze. Dlatego doskonale nadaje się do wygładzania danych w celu usunięcia zakłóceń, przy jednoczesnym zachowaniu szybkiej reakcji krokowej (rysunek 1). Dla typowego, dodatniego białego szumu Gaussa (AWGN), który często zakłada się, próbki uśredniające (N) skutkują zwiększeniem współczynnika SNR o współczynnik (sqrt N). Ponieważ hałas poszczególnych próbek nie jest ze sobą związany, nie ma powodu, aby traktować każdą próbkę inaczej. W związku z tym średnia ruchoma, która daje każdą próbkę tej samej masie, pozbędzie się maksymalnej ilości hałasu dla danej ostrości odpowiedzi na etapie. Wdrożenie Ponieważ jest to filtr FIR, średnia ruchoma może być realizowana przez splot. Będzie wtedy miał taką samą wydajność (lub jej brak), jak każdy inny filtr FIR. Jednakże, może on być również realizowany rekursywnie, w bardzo skuteczny sposób. Wynika to bezpośrednio z definicji, że ta formuła jest wynikiem wyrażeń dla (yn) i (yn1), tj. Gdy zauważymy, że zmiana pomiędzy (yn1) i (yn) polega na tym, że dodatkowy termin (xn1N) pojawia się na koniec, a termin (xn-N1N) jest usuwany od początku. W praktycznych zastosowaniach często można pominąć podział przez (N) dla każdego terminu, kompensując uzyskane zysk (N) w innym miejscu. Ta rekursywna implementacja będzie znacznie szybsza niż konwertowanie. Każda nowa wartość (y) może być obliczona z tylko dwoma dodatkami, zamiast dodawania (N), które byłyby konieczne do prostej implementacji definicji. Jedną rzeczą, na którą trzeba zwrócić uwagę na rekursywną implementację, są błędy zaokrąglania. Może to być problem z aplikacją, ale sugeruje również, że ta implementacja rekurencyjna będzie działać lepiej w przypadku implementacji całkowitej niż w przypadku liczb zmiennoprzecinkowych. Jest to dość niezwykła, ponieważ implementacja zmiennoprzecinkowa jest zwykle prostsza. Koniec z tym wszystkim musi polegać na tym, że nigdy nie należy lekceważyć użyteczności prostej średniej ruchomości filtra w aplikacjach przetwarzania sygnału. Narzędzie do projektowania filtrów Ten artykuł jest uzupełniony o narzędzie do projektowania filtrów. Eksperymentuj z różnymi wartościami dla (N) i wizualizuj otrzymane filtry. Wypróbuj teraz Przewodnik Naukowca i Inżynieria Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów Steven W. Smith, Ph. D. Rozdział 14: Wprowadzenie do filtrów cyfrowych Filtry górnoprzepustowe, pasmowo-pasmowe i odrzucające pasmo Filtry górnoprzepustowe, pasma przenoszenia i odrzucania są projektowane przy użyciu filtru dolnoprzepustowego, a następnie przekształcanie go w pożądaną odpowiedź . Z tego powodu większość dyskusji na temat projektowania filtrów daje tylko przykłady filtrów dolnoprzepustowych. Istnieją dwie metody przeliczania dolnoprzepustowego na wysoką przepustowość: inwersja widmowa i odwrócenie widma. Obie są równie przydatne. Przykład odwrócenia widma jest pokazany w 14-5. Rysunek (a) przedstawia jądro filtru dolnoprzepustowego o nazwie windowed-sinc (temat rozdziału 16). To jądro filtra ma długość 51 punktów, chociaż wiele próbek ma taką wartość, że są na tym wykresie zero. Odpowiadająca odpowiedź częstotliwościowa jest przedstawiona w (b), znaleziona przez dodanie 13 zera do jądra filtra i biorąc 64 punktowy FFT. Trzeba zrobić dwie rzeczy, aby zmienić jądro filtra dolnoprzepustowego na jądro filtru wysokoczęstotliwościowego. Najpierw zmień znak każdej próbki w filtrze jądra. Po drugie dodaj próbkę do środka symetrii. Powoduje to, że jądro filtra górnoprzepustowego pokazane w (c), z odpowiedzią częstotliwościową pokazaną w (d). Odwrócenie widma odwraca odpowiedź częstotliwościową od góry do dołu. zmiana pasów pasowych w stopbands, a stopbands w passbands. Innymi słowy, zmienia filtr z niskoprzepustowego na górnoprzepustowy, górnoprzepustowy na dolnoprzepustowy, pasmo przenoszenia pasma do odrzucenia pasma lub odrzucenia pasma do pasma. Rysunek 14-6 pokazuje, dlaczego ta dwustopniowa modyfikacja domeny czasowej skutkuje odwróceniem widma częstotliwości. W (a) sygnał wejściowy, xn, jest równolegle nakładany na dwa systemy. Jednym z tych układów jest filtr dolnoprzepustowy, z odpowiedzią impulsową podaną przez h n. Drugi system nie robi nic do sygnału, a zatem ma odpowiedź impulsową, która jest funkcją delta, delta n. Całkowite wyjście, yn, jest równe wyjściu układu all-pass minus wyjście z systemu niskoprzepustowego. Ponieważ składowe niskiej częstotliwości są odejmowane od pierwotnego sygnału, na wyjściu pojawiają się tylko składowe wysokiej częstotliwości. W ten sposób powstaje filtr górnoprzepustowy. Może to być wykonywane jako dwustopniowa operacja w programie komputerowym: uruchom sygnał przez filtr dolnoprzepustowy, a następnie odejmij odfiltrowany sygnał z oryginału. Jednakże cała operacja może być wykonywana na etapie sygnału, łącząc oba jądra filtra. Jak opisano w rozdziale 7, systemy równoległe z dodanymi wyjściami mogą być połączone w jeden etap przez dodanie ich odpowiedzi impulsowych. Jak pokazano w (b), jądro filtra dla filtra górnoprzepustowego podaje: delta n - h n. Oznacza to, że zmienisz znak wszystkich próbek, a następnie dodaj próbkę do środka symetrii. Aby ta technika działała, komponenty niskiej częstotliwości opuszczające filtr dolnoprzepustowy muszą mieć tę samą fazę, co części składowe niskiej częstotliwości opuszczające system all-pass. W przeciwnym wypadku całkowite odjęcie nie może nastąpić. Spowoduje to dwa ograniczenia w sposobie: (1) oryginalne jądro filtru musi mieć symetrię lewo-prawo (tzn. Fazę zerową lub liniową) i (2) impuls należy dodać w środku symetrii. Druga metoda przełomu dolnoprzepustowego do wysokiej przepustowości, odwrócenie widma. jest zilustrowany na Fig. 14-7. Tak jak poprzednio, jądro filtra dolnoprzepustowego w (a) odpowiada odpowiedzi częstotliwościowej w (b). Jądro filtra górnoprzepustowego, (c), jest tworzone przez zmianę znaku każdej innej próbki w (a). Jak pokazano w (d), to odwraca domenę częstotliwości z lewej strony po prawej. 0 staje się 0,5 i 0,5 staje się 0. Częstotliwość odcięcia przykładowego filtra dolnoprzepustowego wynosi 0,15, co powoduje, że częstotliwość odcięcia filtra górnoprzepustowego wynosi 0,35. Zmiana znaku każdej innej próbki jest równoznaczna z pomnożeniem jądra filtru przez sinusoidę o częstotliwości 0,5. Jak omówiono w Rozdziale 10, powoduje to przesunięcie pola częstotliwości o 0,5. Spójrz na (b) i wyobraź sobie ujemne częstotliwości od -0,5 do 0, które mają lustrzane odbicie w zakresie częstotliwości od 0 do 0.5. Częstotliwości występujące w (d) to ujemne częstotliwości od (b) przesunięte o 0,5. Na koniec fig. 14-8 i 14-9 pokazują, w jaki sposób jądro filtra dolnoprzepustowego i górnoprzepustowego można łączyć w celu utworzenia filtrów pasmowo-odbijających. Krótko mówiąc, dodawanie jądra filtra tworzy filtr odstraszający, podczas gdy rozwinięcie jądra filtra tworzy filtr pasmowo-przepustowy. Opierają się one na sposobach łączenia kaskadowych i równoległych systemów, jak omówiono w rozdziale 7. Możliwe jest również zastosowanie wielu kombinacji tych technik. Na przykład filtr pasmowo-przepustowy może być zaprojektowany przez dodanie dwóch jądra filtra do utworzenia filtra pasmowo-przepustowego, a następnie użycie inwersji widmowej lub odwrócenie widma, jak opisano wcześniej. Wszystkie te techniki działają bardzo dobrze z niewielkimi niespodziankami. Częstotliwość odpowiedzi filtra średniej aktywności Częstotliwość odpowiedzi systemu LTI to DTFT odpowiedzi impulsów, Odpowiedź impulsowa średniej ruchomej próbki L Ponieważ średni ruchome filtry to FIR , odpowiedź częstotliwościowa zmniejsza się do skończonej sumy Możemy użyć bardzo użytecznej tożsamości do zapisu odpowiedzi częstotliwościowej, jako miejsca, w którym pozwoliliśmy ae minus jomega. N 0 i M L minus 1. Możemy być zainteresowani wielkością tej funkcji w celu określenia, które częstotliwości przechodzą przez filtr nieatłuszczony i które są atenuowane. Poniżej znajduje się wykres wielkości tej funkcji dla L4 (czerwony), 8 (zielony) i 16 (niebieski). Oś pozioma waha się od zera do pi radian na próbkę. Zauważ, że we wszystkich trzech przypadkach odpowiedź częstotliwościowa ma charakter lowpass. Stały składnik (częstotliwość zerowa) w wejściu przechodzi przez filtr nieatapciany. Niektóre wyższe częstotliwości, takie jak pi 2, są całkowicie eliminowane przez filtr. Jeśli jednak zamierzano zaprojektować filtr dolnoprzepustowy, to nie zrobiliśmy tego dobrze. Niektóre z wyższych częstotliwości są osłabione tylko czynnikiem wynoszącym około 110 (dla 16-punktowej średniej ruchomej) lub 13 (dla czteropunktowej średniej ruchomej). Możemy zrobić coś znacznie lepiej. Powyższy wykres został utworzony następującym kodem Matlab: omega 0: pi400: pi H4 (14) (1-exp (-iomega4)) (1-exp (-iomega)) H8 (18) (1-exp (- (1-exp (-iomega)) wykres (omega, abs (H4) abs (H8) abs ((1-exp (-iomega)) (1-exp (-iomega)) H16 (116) (1-exp (-iomega16) H16)) oś (0, pi, 0, 1) Copyright copy 2000- - Uniwersytet w Kalifornii Berkeley Istnieje wiele artykułów na temat częstotliwości odpowiedzi ruchomych filtrów średnich, ale wszystkie one wydają się skupiać się na wielkości. Jednak reakcja na fazę jest intrygująca i trudno interpretować. Faza wydaje się owinąć, ale tkwi w przedziale - pi, pi, a nie na jej krawędziach. Przykład poniżej: Algorytm odwijania faz nie rozwiązałby tego, więc jest to naprawdę pseudo-owinięcie. Co więcej, jeśli dodam kreski do średniej ruchomej, spłaszczę ten proces, więc podejrzewam, że matematycznie, średni ruchowy filtr nigdy nie osiągnie 0 lub 2 pi, chociaż nigdy nie widziałem wyjaśnienia. Przykład 11-kranu: Uważam to zachowanie fascynujące i byłoby zainteresowane interpretacją eksperta. Czy to sugeruje, że funkcje będą zniekształcone w pewnych słabych punktach odpowiedzi częstotliwościowej Czy prawidłowe jest wywołanie fazy ruchomych przeciętnych filtrów w przekroju liniowym, a nie liniowym, ale podejrzewam, że symetryczne filtry FIR są analitycznie wykazywane jako liniowe , ale mam ciężki czas nazywając ten liniowy. zapytał 15 stycznia 16 o 9:41 Odpowiedź częstotliwościowa filtra średniego ruchu powodującego długość N jest zauważalna, że ​​A (omega) nie jest wielkością H (omega), ale jest to funkcja amplitudy wartości rzeczywistej, która przyjmuje dodatnie jak również wartości ujemnych. Faza phi (omega) - (N-1) omega2, jak określono w (1), jest oczywiście liniowa. To także wspólna definicja, gdy mówimy o liniowej odpowiedzi fazowej. Faza, którą wykreślono nie jest phi (omega), ale kapelusz (omega) określony przez różnicę między phi (omega) a kapeluszem (omega) jest taki, że gdy A (omega) przecina zero, skok fazy pm pi występuje w kapeluszu (omega), co odpowiada zmianie znaku w A (omega). Niemniej jednak nadal odnosimy się do H (omega) jako odpowiedzi częstotliwościowej z fazą liniową, ponieważ phi (omega) jest liniową funkcją omega. Zauważ, że w praktyce faza liniowa ma znaczenie tylko w paśmie pasma filtra, to znaczy w obszarze częstotliwości, w którym nie występują zera H (omega). W pasmie przepustowym również kapelusz (omega) jest liniowy, ponieważ tylko skacze na zera H (omega).